EJERCICIOS PLANTEADOS
1-) y=-2(3x+4)3-2x CON x= -1
2-) y=(5x-4)2+3x2 CON x= -2
SOLUCION PRIMER EJERCICIO
y=-2(3x+4)3-2x CON x= -1
primero reemplazamos X en la ecuación inicial y nos queda así:
y=-2(3(-1)+4)3-2(-1) CON x= -1
y al resolver estas operaciones nos queda así:
y=-2(-3+4)3-2(-1)
y=-2(1)3-2(-1)
y=-2(1)-2(-1)
y=-2(1)+2
y=-2+2
y=0
en este punto ya conocemos el valor de Y, ahora sigue derivar la ecuación principal o inicial, y asi obtendremos el valor de la pendiente (m), derivemos:
debemos aplicar aquí la regla de la cadena, derivando primero externamente y luego internamente asi:
el primer termino es -2(3x+4)3 y la derivada externa se hace bajando el exponente 3 y multiplicarlo por -2 que es el factor del paréntesis y reescribir el termino restándole uno al exponente y nos queda entonces (3)(-2)(3x+4)2 , luego hacemos la derivada interna que es derivar al interior del paréntesis donde tenemos 3x+4, la derivada de 3x es 3 porque se multiplica el uno que tiene la x como exponente por el 3 y nos da 3, y al restarle 1 al exponente de la x pues esta desaparece y por eso nos queda que la derivada de 3x es 3, y la derivada de 4 es cero porque la derivada de una constante siempre es cero.
Luego derivamos el segundo termino de la ecuación inicial que es -2x y nos queda que es igual a -2.
Ahora ya tenemos las derivadas de la ecuación inicial y reescribimos el ejercicio:
y=-2(3x+4)3-2x
y’=(3)(-2)(3x+4)2(3)-2
y’=-6(3x+4)2(3)-2
y’=-18(3x+4)2-2
ahora como ya tenemos y’ , reemplazamos de nuevo la x en esta ecuación y asi hallamos el valor de la pendiente (m):
m=-18(3x+4)2-2
m=-18(3(-1)+4)2-2
m=-18(-3+4)2-2
m=-18(1)2-2
m=-18(1)-2
m=-18-2
m=-20
la ecuación general de la recta nos doce que y=mx+b, como ya tenemos los valores de y, m, Y x, podemos averiguar el valor de b que es el que nos falta:
y=0, m=-20, x=-1 entonces
0=-20(-1)+b
0=20+b
-20=b
b=-20
ahora como ya tenemos el valor de todas las incognitas, reescribimos la ecuación general de la recta que no quedaría asi:
y=-20x-20, que es la ecuación general de la recta tangente a la grafica de la función
y=-2(3x+4)3-2x , esta recta tangente corta esta grafica en el punto (-1, 0) y corta el eje y en -20.
SOLUCION SEGUNDO EJERCICIO
y=(5x-4)2+3x2 CON x= -2
primero reemplazamos X en la ecuación inicial y nos queda asi:
y=(5(-2)-4)2+3(-2)2 CON x= -2
y al resolver estas operaciones nos queda asi:
y=(5(-2)-4)2+3(-2)2
y=(-10-4)2+3(4)
y=(-14)2+12
y=196+12
y=208
en este punto ya conocemos el valor de Y, ahora sigue derivar la ecuación principal o inicial, y asi obtendremos el valor de la pendiente (m), derivemos:
debemos aplicar aquí la regla de la cadena, derivando primero externamente y luego internamente asi:
el primer termino es (5x-4)2 y la derivada externa se hace bajando el exponente 2 y multiplicarlo por el paréntesis y reescribir el termino restándole uno al exponente y nos queda entonces 2(5x-4) , luego hacemos la derivada interna que es derivar al interior del paréntesis donde tenemos 5x-4, la derivada de 5x es 5 porque se multiplica el uno que tiene la x como exponente por el 5 y nos da 5, y al restarle 1 al exponente de la x pues esta desaparece y por eso nos queda que la derivada de 5x es 5, y la derivada de -4 es cero porque la derivada de una constante siempre es cero.
Luego derivamos el segundo termino de la ecuación inicial que es 3x2 y nos queda que es igual a 6X.
Ahora ya tenemos las derivadas de la ecuación inicial y reescribimos el ejercicio:
y=(5x-4)2+3x2
y’=2(5x-4)(5)+6X
y’=10(5x-4)+6X
ahora como ya tenemos y’ , reemplazamos de nuevo la x en esta ecuación y asi hallamos el valor de la pendiente (m):
m=10(5(-2)-4)+6(-2)
m=10(-10-4)-12
m=10(-14)-12
m=-140-12
m=-152
la ecuación general de la recta nos doce que y=mx+b, como ya tenemos los valores de y, m, Y x, podemos averiguar el valor de b que es el que nos falta:
y=208, m=-152, x=-2 entonces
208=-152(-2)+b
208=304+b
-304+208=b
b=-96
ahora como ya tenemos el valor de todas las incognitas, reescribimos la ecuación general de la recta que no quedaría asi:
y=-152x-96, que es la ecuación general de la recta tangente a la grafica de la función
y=(5x-4)2+3x2 , esta recta tangente corta esta grafica en el punto (-2, 208) y corta el eje y en -96.
ARTICULO PUBLICADO EN: http://eassm81.wordpress.com/2011/06/23/ejercicios-resueltos-de-recta-tangente-usando-derivacion-implicita/ELABORADO POR: EDGAR STEVE TORRES MONTAÑA
ARTICULO PUBLICADO EN: http://eassm81.wordpress.com/2011/06/23/ejercicios-resueltos-de-recta-tangente-usando-derivacion-implicita/ELABORADO POR: EDGAR STEVE TORRES MONTAÑA
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