BIENVENIDOS AL CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL

OBJETIVO:

TEMARIO:

CLASE 1:  NUMERO COMPLEJOS

CLASE 2: SISTEMAS DE ECUACIONES  LINEALES

CLASE 3 :  DETERMINANTES Y MATRICES

CLASE 4:  ESPACIOS VECTORIALES

CLASE 5 : TRANSFORMACIONES LINEALES

producto cruz de dos vectores en el espacio

al momento de realizar el producto cruz de dos vectores , se forma un determinante de tres por tres, donde la primera fila estará formada por los vectores unitarios ( i, j, k) y la segunda fila por los componentes del primer vector y la tercera fila los componentes del segundo vector, a continuación se resuelve la determinante, tal como se muestra en el siguiente vídeo turorial, donde se realiza el producto cruz de dos vectores.

GRÁFICA DE UN VECTOR EN 3D

AL UTILIZAR UN SISTEMA DE COORDENADAS EN R3 O 3D SE TIENEN TRES EJES A DIFERENCIA DE R2 O 2D,  EL TERCER EJE QUE SE AÑADE AL PLANO CARTESIANO ES EL EJE Z, QUE VIENE QUEDANDO DE FORMA VERTICAL A LOS EJES X Y Y

A CONTINUACION DEJO EL SIGUIENTE VIDEO TUTORIAL QUE MUESTRA LA FORMA DE GRAFICAR UN VECTOR EN 3D UTILIZANDO EL PROGRAMA DE GEOGEBRA

bienvenidos al curso de algebra

el curso esta elaborado en base a las competencias del sistema nacional de bachillerato, pero sobre todo en base a las competencias que se trabajaran en la asignatura de álgebra para el presente periodo escolar

para verificar la información de cada tema subsidiario hacer clic en su enlace.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

1.  LENGUAJE ALGEBRAICO

•  NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN ALGEBRAICA
• TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES EN LENGUAJE COMÚN A LENGUAJE ALGEBRAICO
• INTERPRETACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
• EVALUACIÓN NUMÉRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

                                                
     2.-OPERACIONES FUNDAMENTALES

• OPERACIONES FUNDAMENTALES
• LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES
• PRODUCTOS NOTABLES
• FACTORIZACIÓN

     3.-ECUACIONES

                          LINEALES 
CON UNA INCÓGNITA

•  RESOLUCIÓN Y EVALUACIÓN DE ECUACIONES

CON DOS  Y TRES INCÓGNITAS 

• SISTEMAS DE ECUACIONES
• MÉTODOS DE SOLUCIÓN

                          CUADRÁTICAS

• CLASIFICACIÓN
• MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Teoremas de Rolle y de Lagrange

Teoremas de Rolle y de Lagrange

Teorema de Rolle

Michael Rolle (1652-1719)

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0.

H) f es continua en [a,b]
    f es derivable en (a,b)
    f(a)=f(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0

Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.

Demostración:

f es continua en [a,b] => por teo. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b].

Para todo x perteneciente a [a,b] m <= f(x) <= M.

Existe x₁ perteneciente a [a,b] / f(x₁)=M.

Existe x₂ perteneciente a [a,b] / f(x₂)=m.

Si m = M => para todo x perteneciente a [a,b] f(x) = M => f'(x) = 0

Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x₁ o x₂, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo x₂.

=> (a,b) se comporta como un entorno de x2.

Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x₂) <= f(x)

=> Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x₂. (1)

f es derivable por hipótesis. (2)

De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativos f'(x₂)=0

Teorema de Lagrange o del valor medio

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]
    f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje ox.
f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

Demostración:

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.
g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.
Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle
=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)

       f(a) - f(b)   
=> h = -----------
          b - a

=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0

g'(x) = f'(x) + h
                                  f(b) - f(a)
g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) =  -----------
                                     b - a

Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde su punto de partida a lo largo de cierto camino.
Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b - a. (Recordar que velocidad = distancia/tiempo)
Por lo tanto f'(a)=lim_x->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.
Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por hora.
Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas, el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.

fuente:http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/C%C3%A1lculo/C%C3%A1lculo_1/teorema-de-lagrange.html

derivación implicita

EJERCICIOS PLANTEADOS

1-)  y=-2(3x+4)³-2x   CON  x= -1

2-)  y=(5x-4)²+3x²      CON  x= -2

SOLUCION  PRIMER EJERCICIO

y=-2(3x+4)³-2x   CON   x= -1

primero reemplazamos  X en la ecuación inicial y nos  queda así:

y=-2(3(-1)+4)³-2(-1)   CON   x= -1

y al resolver estas operaciones  nos queda así:

y=-2(-3+4)³-2(-1)

y=-2(1)³-2(-1)

y=-2(1)-2(-1)

y=-2(1)+2

y=-2+2

y=0

en este punto ya conocemos el valor de Y, ahora sigue derivar la ecuación principal o inicial, y asi obtendremos el valor de la pendiente (m), derivemos:

debemos aplicar aquí la regla de la cadena, derivando primero externamente y luego internamente asi:

el primer termino es    -2(3x+4)³   y la derivada externa se hace bajando el exponente  ³   y multiplicarlo por   -2  que es el factor del paréntesis y reescribir el termino restándole uno al exponente y nos queda entonces  (3)(-2)(3x+4)²  , luego hacemos la derivada interna que es derivar al interior del paréntesis donde tenemos  3x+4, la derivada de 3x es 3 porque se multiplica el uno que tiene la x como exponente por el 3 y nos da 3, y al restarle 1 al exponente de la x pues esta desaparece y por eso nos queda que la derivada de 3x es 3, y la derivada de 4 es cero porque la derivada de una constante siempre es cero.

Luego derivamos el segundo termino de la ecuación inicial que es -2x y nos queda que es igual a  -2.

Ahora ya tenemos las derivadas de la ecuación inicial y reescribimos el ejercicio:

y=-2(3x+4)³-2x

y’=(3)(-2)(3x+4)²(3)-2

y’=-6(3x+4)²(3)-2

y’=-18(3x+4)²-2

ahora como ya tenemos  y’ ,  reemplazamos de nuevo la x en esta ecuación y asi hallamos el valor de  la pendiente (m):

m=-18(3x+4)²-2

m=-18(3(-1)+4)²-2

m=-18(-3+4)²-2

m=-18(1)²-2

m=-18(1)-2

m=-18-2

m=-20

la ecuación general de la recta nos doce que   y=mx+b,  como ya tenemos los valores de y, m, Y  x, podemos averiguar el valor de b que es  el que nos falta:

y=0,  m=-20, x=-1 entonces

0=-20(-1)+b

0=20+b

-20=b

b=-20

ahora como ya tenemos el valor de todas las incognitas, reescribimos la ecuación general de la recta que no quedaría asi:

y=-20x-20,     que es la ecuación general de la recta tangente a la grafica de la función

y=-2(3x+4)³-2x  , esta recta tangente corta esta grafica en el punto (-1, 0) y corta el eje y en  -20.

SOLUCION  SEGUNDO EJERCICIO

y=(5x-4)²+3x²      CON  x= -2

primero reemplazamos  X en la ecuación inicial y nos  queda asi:

y=(5(-2)-4)²+3(-2)²      CON  x= -2

y al resolver estas operaciones  nos queda asi:

y=(5(-2)-4)²+3(-2)²

y=(-10-4)²+3(4)

y=(-14)²+12

y=196+12

y=208

en este punto ya conocemos el valor de Y, ahora sigue derivar la ecuación principal o inicial, y asi obtendremos el valor de la pendiente (m), derivemos:

debemos aplicar aquí la regla de la cadena, derivando primero externamente y luego internamente asi:

el primer termino es    (5x-4)²   y la derivada externa se hace bajando el exponente   ²   y multiplicarlo por  el paréntesis y reescribir el termino restándole uno al exponente y nos queda entonces  2(5x-4)  , luego hacemos la derivada interna que es derivar al interior del paréntesis donde tenemos  5x-4, la derivada de 5x es 5 porque se multiplica el uno que tiene la x como exponente por el 5 y nos da 5, y al restarle 1 al exponente de la x pues esta desaparece y por eso nos queda que la derivada de 5x es 5, y la derivada de -4 es cero porque la derivada de una constante siempre es cero.

Luego derivamos el segundo termino de la ecuación inicial que es 3x² y nos queda que es igual a  6X.

Ahora ya tenemos las derivadas de la ecuación inicial y reescribimos el ejercicio:

y=(5x-4)²+3x²    

y’=2(5x-4)(5)+6X

y’=10(5x-4)+6X

ahora como ya tenemos  y’ ,  reemplazamos de nuevo la x en esta ecuación y asi hallamos el valor de  la pendiente (m):

m=10(5(-2)-4)+6(-2)

m=10(-10-4)-12

m=10(-14)-12

m=-140-12

m=-152

la ecuación general de la recta nos doce que   y=mx+b,  como ya tenemos los valores de y, m, Y  x, podemos averiguar el valor de b que es  el que nos falta:

y=208,  m=-152, x=-2 entonces

208=-152(-2)+b

208=304+b

-304+208=b

b=-96

ahora como ya tenemos el valor de todas las incognitas, reescribimos la ecuación general de la recta que no quedaría asi:

y=-152x-96,     que es la ecuación general de la recta tangente a la grafica de la función

y=(5x-4)²+3x²  , esta recta tangente corta esta grafica en el punto (-2, 208) y corta el eje y en  -96.



ARTICULO PUBLICADO EN: http://eassm81.wordpress.com/2011/06/23/ejercicios-resueltos-de-recta-tangente-usando-derivacion-implicita/ELABORADO POR:  EDGAR STEVE TORRES MONTAÑA

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ecuacion de la recta tangente y recta normal a una curva

el el video podremos visualizar que la recta normal por ser perpendicular tiene que cumplir con la siguiente condicion   pendiente de la recta tangente (mt )por la pendiente de la recta normal(mn)  debe ser igual a -1
es decir la pendiente de la recta normal es inversa a la pendiente de la recta tangente  1/mt